#freeze
*中心極限定理とは [#f4537a42]
-独立同分布に従う確率変数の和が正規分布に法則収束するという定理

*サンプルの和の場合 [#d02c4f80]

期待値 μ で標準偏差 σ の独立同分布に従うサンプルの平均は、期待値μ、分散σ^2/nの正規分布に収束する。

サンプル
#ref(x1x2x3.gif)
の和
#ref(sumx1x2x3.gif)
は、nを大きくするとき、期待値μ、標準偏差σ/√nに収束する。
*証明 [#nfdd84c4]
[[中心極限定理の証明>http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/graduate/data/central.pdf]]
-スターリングの公式(近似式)を使っている。

*応用例 [#raf3e803]
統計学における基本定理であり、例えば世論調査における必要サンプルのサイズの算出等に用いられる。
*応用問題 [#sf5df6bb]
下記分布の場合、和の分布は、いかなる正規分布に収束するか
*2項分布 [#h69bece2]
#ref(binomial-distribution.gif)
*多項分布 [#lfb3a5cb]
#ref(multi nomial distribution.gif)
*指数分布 [#j46c6daf]
#ref(exponential-distribution.gif)
*ポアソン分布 [#u44aad30]
#ref(poisson-distribution.gif)
*正規分布 [#we085a89]
#ref(normal-distribution.gif)

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