ラグランジェの方程式

図のように長さL1 とL2 の糸の先に,質量がそれぞれm1 とm2 の質点をつるした系(2重振子)を考える.

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(a) 重力加速度をg として,この系のLagrangean を書き下し,Euler-Lagrange の運動方程式を求めよ.
(b) 振幅の小さい微小振動の場合についてこの系の基準振動数を求めよ.

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  • 重り1,2 のy 軸に対する角度をθ1, θ2 とする.重り1 の位置G1 の座標(xG1, yG1) 及びその速度VG1は
    xG1 = l1 sin θ1
    yG1 = l1 cos θ1
    VG1 = lθ'
  • 重り2 の位置G2 の座標(xG2, yG2) 及びその速度VG2 の2 乗は
    xG2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2
    yG2 = l1 cos θ1 + l2 cos θ2
    VG2^2=(l1 θ'1 cos θ1 + l2 θ'2 cos θ2)^2 + (l1 θ'1 sin θ1 + l2 θ'2 sin θ2)^2
         = (l1θ'1)^2 + (l2θ'2)^2 + 2l1l2 θ1 θ'2 cos(θ1 - θ2)
  • 重り1 の運動エネルギーT1 及び位置エネルギーU1 は
    T1=1/2m(l1θ'1)^2
    U1 = m1gl1 cos θ1
  • 重り2 の運動エネルギーT2 及び位置エネルギーU2 は
    T2 =1/2m2[(l1θ'1)^2 + (l2θ'2)^2 + 2l1l2 θ'1 θ'2 cos(θ1 - θ2)]
    U2 = m2g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2)
  • この2 重振り子のラグランジュ関数L は,
    L = T + U= (T1 + T2) + (U1 + U2)
  • ラグランジュ関数L からθ1 θ2 に関するラグランジュ運動方程式をたてるには以下の関係式 を用いればよい.

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  • これを解くと、θ1,θ2 に関するラグランジュ運動方程式が得られる。

    #ref(): File not found: "openfile=lagrange2.JPG" at page "2重振子"

基準振動数

n個の振動子からなる連成振動ではその運動方程式はn個の連立線形常微分方程式となり,その解は一般に個の単振動の合成として表される。その単振動を基準振動 ,またその振動数を基準振動数という。この例題の場合は振動子2個ゆえ,2個の基準振動の合成となる。

  • 微小震動の場合、sinθ=θ、cosθ=1と近似してみる。また、2次の項を省略して、線形近似の運動方程式をたてる。解析解が求まる:2 つの基準振動の和であらわされる

    #ref(): File not found: "openfile=furiko3.JPG" at page "2重振子"

運動のシミュレーション

振幅が大きくなると、2つの小球は突如として摩訶不思議な行動をとるようになる。ひっくり返ったり回転したり・・・。 このように、解析的には数式が成り立つのに、ちょっとした初期条件の相違によって予想できないような全く異なる結果をもたらす現象を「カオス」という。


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Last-modified: 2012-11-05 (月) 11:50:00 (2149d)