重ね合わせの原理

入力が2倍になれば、出力が2倍になるなど、線形性を持つシステムで見られる最も重要な性質である。

Ua(t)なる入力によって、Ya(t)が得られ、Ub(t)なる入力でYb(t)が得られたとする。 このとき、重ね合わせた入力であるUa(t)+Ub(t)を入力すれば、出力Ya(t)+Yb(t)が得られる場合、重ね合わせの原理が成立しているという。

  • 線形微分方程式や線形差分方程式で表現できるシステムでは、一般に成立する。もちろん電気回路や機械振動系でもこの原理が一定の範囲内で成立している。もっとも単純な例は、ばねの単振動など

重ね合わせの原理の証明

  • 入力utを持つ線形差分方程式を考えてみよう。証明は、「線形差分方程式」にあります。

xt=a1xt-1+a2xt-2+....+anxt-n +ut入力系列の数列をu={u1,u2,...}とすれば、解の数列xは、線形差分作用素L(E)を用いて

L(E)x=uで表わされる。このことから、

•2つの入力列u,vについてL(E)x=uの解をX1、L(E)x=vの解をX2とすればL(E)x=(u+V)の解は、X1+x2で表わされる。これが重ね合わせの原理である。

L(E)(x1+x2)=L(E)x1+L(E)x2=u+V

•線形差分方程式においては、入力{ut}の出力を{x1t}、入力{vt}の出力を{x2t}とする時、入力{ut+vt}の出力は、それぞれの出力の和(重ね合わせ {x1t+x2t}になる。線形系の重要な性質である。

  • この重ね合わせの原理から、 L(E)X=u の一般解を求めるには、その一つの特殊解に、L(E)X=0 の一般解を加えればよいことになる。

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Last-modified: 2012-01-26 (木) 18:11:00 (2313d)