線形空間

いわゆる和や係数倍が定義された空間であり、ベクトル空間は線形空間である。また係数体が複素数のときは、線形複素空間とよぶ。係数体が実数の場合は実空間とも呼ぶ。

  • 線形空間の定義: 係数体K=C(複素数の全体),またはK=R(実数の全体)とする.集合Vが x,y,z∊V および α,β∊K に対して次の条件を満たしているとき,VをK上の線形空間(linear space),あるいはベクトル空間(vector space)という.
    (1) x+y=y+x  (交換則)
    (2) x+(y+z)=(x+y)+z  (結合則)
    (3) すべての x∊V に対し,x+0=x が成り立つベクトル 0 がただ一つ存在
    (4) すべての x∊V に対し,x+x'=0 が成り立つベクトル x' がただ一つ存在
    (5) 1x=x
    (6) α(βx)=(αβ)x
    (7) α(x+y)=αx+αy
    (8) (α+β)x=αx+βx
    • 係数体K=Rでの線形空間をとくに実線形空間(real linear space),または実ベクトル空間(real vector space)といい,K=Cのとき複素線形空間という.

線形結合とは

線形空間X上の有限個の元 x1,x2,・・・,xn に対し,

a1x1+a2x2+・・・+anxn  (ak∊K)

を x1,x2,・・・,xn の線形結合(linear combination)または一次結合という.

線形独立,線形従属とは

K上の線形空間Xの有限個の元 x1,x2,・・・,xn について,

a1x1+a2x2+・・・+anxn=0

を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が

a1=a2=・・・=an=0

だけであるとき,x1, x2,・・・, xn は線形独立(linear independent),または一次独立であるという.

空間の次元とは

n次元の線形空間とは、 有限次元の線形空間Xが0以外の元を持ち,Xの中に一次独立なn個の元が存在するとき,Xのいかなる n+1 個の元も一次従属となるならば,Xはn次元であるという

同型写像とは

2つの線形空間XとYで,XからYへの線形写像φが存在し,φがXからYの上への1対1写像であるとき,XとYは同型(isomorphism)であるという.また,この φ を同型写(isomorphism,isomorphic mapping)という

一般の数列や線形差分方程式の解の数列は?

X={x | 収束する数列 x=(ξn),(n=1,2,...)} として,Xにおける加法およびスカラー乗法を成分ごとの和および定数倍として定義すればXは線形空間となる

距離が定義された空間:距離空間

距離空間と距離関数 空間Xの点 x,y,z に対して,X×X上の実数値関数d(x,y)が存在して,以下の距離の公理を満たすものとする

(1) d(x,y)≧0
(2) x=y のときにのみ d(x,y)=0
(3) d(x,y)=d(y,x)
(4) d(x,y)≦d(x,y)+d(y,z)

このとき,d(x,y) は x と y の距離(distance)または距離関数(distance function)といわれ,このようなdが定義される空間を距離空間(metric space,distance space)といい,(X,d)などと表される.

  • ベクトル空間に、距離d=SQRT(x'x)を定義すれば、線形距離空間になる。

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Last-modified: 2010-12-18 (土) 15:36:00 (2864d)