平均-分散選好と最適ポートフォリオ

期待効用が、富Cの平均収益率 E(c)とその分散 E[(C-E(c))^2]で表わされる場合の最適ポートフォリオを計算しよう。

平均は、リターンであり、分散はリスクを表わすので、このような選好を平均ー分散選好と呼ぶ。

さて、現在に、安全資産x0とn個の危険資産xi,i=1~nがあるとしよう。各資産の保有割合を表わすベクトルをポートフォリオと呼び (x0,x1,x2,・・xn) x0+x1+・・+xn=1 で表わす。

将来の富cは、現在の富c0に、各資産の収益率riを使って、下記のように表わされる。

C=(1+R)C0        (1)
R=Σ(1+ri)xi i=0,n    (2)
Σxi=1                  (3)

最適ポートフォリオとは、期待効用E[U(c)]を最大とするような、ポートフォリオを決定する問題である。

不確実性は、各資産の収益率にあると考えてこれを確率変数とする。安全資産x0の収益率r0は定数であり、n個の危険資産の収益率ベクトルr=(r1,r2,・・・,rn)は、平均ベクトルをμ、共分散行列Σ={σij}で表わされるとする。

この時、総合収益率Rの平均 μ と分散 V=σ^2 は、定義から次式で表わすことができる。

  • μ=E(R)=Σμixi (4)
  • V=σ^2=E[(Σ(1+ri)xi-Σμixi)^2]=xtΣx=Σxixjσij  (5)

将来の富Cは、現在の富c0の1+R倍であるので、U(C)をRで読み替えてU(R)とする。 効用関数U(R)は、確率変数Rの関数である。すなわち、収益率Rの平均と分散で表わされる。

  • U(R)=U(μ,V)      (6)

最適ポートフォリオ

最適ポートフォリオは、(1)から(5)の条件の下で、効用関数U(μ,σ^2)を最大にするポートフォリオXを求めることである。

この解は、ラグランジェ関数L を次のように置き、これをxi、i=1~nで偏微分して、n個の連立方程式を解くことで求められる。

L=U(μ,V)+λ・(1-Σxi)

一般解は

  • X=-(1/2){(∂U/∂μ)/∂(U/∂V)}Σ^(-1)(μ-r0)
  • x0=1-Σxi i=1~n である。但し、μは、平均ベクトルで、r0は安全資産の収益率を各要素にもつベクトル。

この式は、次のことを意味する。

  • 収益率の高い資産ほど、保有割合が多い
  • リスク(分散)が大きい資産ほど、保有割合が少ない。
  • 危険回避度の高い主体ほど、危険資産のシェアが少ない。

効用関数

次の指数型の効用関数を考え、最適なポートフォリオを求めてみよう。

U(R)=-exp(-αR) α>0

このタイプの効用関数では、Rが正規分布N[μ,σ^2]に従う時、期待効用は次式で表わされる。

E[U(R)]=-exp[-αμ+(1/2)α^2σ^2]

上記の期待効用が一定となる等効用曲線、すなわち(μ,σ)の平面上で、効用の等しい集合は、E[U(R)]=定数なので、次の2次曲線で与えられる。

μ=(1/2)σ^2+K K:定数

この効用関数の場合の最適ポートフォリオは

  • X=(1/α)Σ^(-1)(μ-r0)
  • x0=1-Σxi i=1~n

計算例:1971-1989年

危険資産として、株式と土地、安全資産として預金を考える。1971-1989年の平均収益率を計算すると、長期プライムレート、株価、土地価格の上昇率を採用すると

預金 :r0=0.075
株価 :r1=0.167
地価 :r2=0.121

であった。 共分散行列は

σ11=0.025、σ12=σ21=0.005

であった。

この時、上記の最適ポートフォリオを計算してみよう。但し、α=1の主体の場合としよう。

  • X=(1/α)Σ^(-1)(μ-r0) より、共分散行列の逆行列を、μ-r0=(0.092,0.041)ベクトルに掛ければ良い。

答えは、

x0=-3.43
x1=3.42
x2=1.03

である。 すなわち、α=1の主体の場合は、銀行借り入れを行い、株式と土地に3.4対1の割合で投資するのが良かったことになる。

ただし、リスク回避的な個人の場合、αが4.45より大きい場合は、借入を行わずに、株式と土地に3.4対1の割合で投資するのが良かったことになる。

分離定理

上記の例でもわかるように、危険資産の保有割合は、危険資産のみでの最適点Mできまり、危険資産と安全資産の保有割合は、評価主体のリスク回避度で決まる。

  • 危険資産内での最適なポートフォリオの決定(M点)と、安全資産と危険資産の決定(N点)の決め方は分離してよいので、これをTobinの分離定理と呼ぶ。
    portforio-sumary.JPG

参考


添付ファイル: fileportforio-sumary.JPG 390件 [詳細]

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Last-modified: 2010-12-03 (金) 21:46:00 (3239d)