最小分散ポートフォリオとは

n個の資産が市場に存在し、それらの収益率の期待値をE(ri),i=1~nとし、共分散をσij,i,j=1~nとする。これらの上でポートフォリオを構築する時、期待値E(r)=ΣwiE(ri)が一定のもとで、その分散を最小化するポートフォリオを最小分散ポートフォリオと呼ぶ。

  • この問題は、マコービッツの問題と呼ばれ、1期間投資モデルの基礎となるものである。
  • 上場企業は1部上場のみでも1700社にもなるので、個別に複数の資産を選んで、最小分散ポートフォリオを組む場合、大変な計算を要する。
  • n個の資産を選んだ場合は、ベクトル形式での表示で最適化計算を行うことで、すっきりとした綺麗な議論が可能である。
  • モダンポートフォリオ理論のはじまりは、経済学者H=マルコビッツ(Harry Markowitz)が1952年に発表した分散投資の数学的モデルを示した論文といわれています。複雑な計算を必要とするモデルですが、コンピューターの発達によって、広く用いられるようになりました。マルコビッツは1927年に生まれ、1990年のノーベル経済学賞を受賞しました。

ポートフォリオの分散とは

ポートフォリオの分散は次式で定義される。

V(rp)=E[(rp-E(rp)^2]

E(rp)=ΣwiE(ri)なので

     =E[[Σwiri-wiΣE(ri)]^2]
     =E[[Σwi(ri-E(ri))]^2]

期待値の中身が和の二乗であることに注意すると,以下のように整理することができる.

     =E[ΣΣwiwj(ri-E(ri))(rj-E(rj))] i=1~n,j=1~n
     =ΣΣwiwj・E(ri-E(ri))(rj-E(rj))

共分散σijは E(ri-E(ri))(rj-E(rj))で定義されるので、分散は次のように表現される。

V(rp)= ΣΣwiwjσij

ただし、σiiは、i資産の分散σi^2に一致することに注意すること。

マコービッツ問題の解

最小化すべき目的関数J(w1,w2,----,wn)は、

J=(1/2)ΣΣwiwjσij --->Min

制約条件は

Σwi・E(ri)=E(rp)
Σwi=1
  • 目的関数を、分散の1/2とした理由は、後の計算を簡単にするためである。

ラグランジュ乗数 λとμを用いて、ラグランジアン L を次式で定義する。最小化の必要条件は、重みwi,i=1,n とスカラー変数λとμ について、極値をとることである。

L=(1/2)ΣΣwiwjσij + λ[E(rp)-Σwi・E(ri)] + μ(1-Σwi)

まずは2変数の場合で解いてみよう。

L=(1/2)(wi^2σ1^2+w1w2σ12+w1w2σ21+w2^2σ2^2)
   -λ[E(r1)w1+E(r2)w2-E(rp)] -μ(w1+w2-1)

ラグランジアンをw1,w2,λ,μについて偏微分して、それをゼロとおくことで次式を得る。σ12=σ21も使って

σ1^2w1+σ12w2-λE(r1)-μ=0
σ21w1+σ2^2w2-λE(r2)-μ=0
Σwi・E(ri)=E(rp)
Σwi=1

上の4つの連立方程式を、w1,w2,λ,μの4つの未知数について解くことで最小分散ポートフォリオを求められる。線形であるので、線形連立方程式の数値解法で求めることができる。

危険資産のポートフォリオ:ベクトル表示

上記の計算をベクトル表示で行ってみよう。 目的関数は、分散W'ΣWであり、ラグランジェ関数は、E(rp)をμpで定義すれば

L(W)=(1/2)W'ΣW +λ(rp-W'r)+μ(1-W'1) --->Min by W
但し μr=(E(r1),E(r2))' 1=(1,1)'
W=(w1,w2)'
Σ=|σ11  σ12  |
 =|σ21   σ22 |

停留条件は、L(w)をWで偏微分して0と置くことで

ΣW - λ・μr -μ1 =0
μp=W'μr
w'1=1

後の2つの式は制約条件になっている2本の式である。最初の式は、2行1列のベクトル表示であり、ベクトルWの各要素でラグランジェ関数を偏微分して導出された。

この解を求めてみよう。 第1式より

W= λ Σ^(-1)μr +μ Σ^(-1)1

共分散行列の逆行列をQと定義しよう。

Q=Σ^(-1)

そうすれば

W=λ Qμr +μ Q1

両辺を転置すれば、Qは対称行列であるのでQ'=Qより

W'=λ・μr'Q + μ・1'Q

このW'を、2つの制約式に代入すれば、次の2本の式を得る。

λ{μr'Qμr} + μ{1'Qr} =μp
λ{μr'Q1} + μ{1'Q1} =1

このλとμの2つのスカラー変数の連立方程式を解けば良いことが判る。係数{・}は内積の形となっておりスカラー係数であり、いずれの係数もσij,E(ri)(i=1~2,j=1~2)の関数となっている。

2資産の場合の係数を具体的に表わしてみよう。

Q=Σ^(-1)=adjΣ/detΣ
detΣ=σ11σ22-σ12^2
adjΣ=|σ22 -σ21|
     |-σ12 σ11|

であるので、2本の式を

A λ + Bμ=μp
B λ + Cμ=1

で表示すれば

A=μr'Qμr=(E(r1),E(r2))(E(r1)σ22-E(r2)σ21 ,-E(r1)σ12+E(r2)σ11)'/detΣ
      = (E(r1)^2σ22 + E(r2)^2σ11 -E(r1)E(r2)σ12)/(σ11σ22-σ12^2)
B=1'Qμr={E(r1)(σ22-σ12) + E(r2)(σ11 -σ12)/(σ11σ22-σ12^2)
C=1'Q1=(σ22 + σ11 -σ12)/(σ11σ22-σ12^2)

で表わせる。 このA=μr'Qμr、B=1'Qμr、C=1'Q1を使って、連立方程式から未定乗数をもとめれば

λ=(Cμp-B)/(AC-B^2)
μ=(A-Bμp)/(AC-B^2)

の式で一般のn資産の場合も求められる。 これを使ってポートフォリオWを計算すれば

W=λ Qμr +μ Q1

より

W={(Cμp-B)Qμr + (A-B・μp)Q1}/(AC-B^2)
但し、Q=Σ^(-1)、A=μr'Qμr、B=1'Qμr、C=1'Q1

で表わされる。これが最小分散ポートフォリオである。

2資産の場合のW1は、面倒な計算ではあるが、要素表示すれば

W1={(Cμp-B)/(AC-B^2)}{(σ22E(R1)-σ12E(r2))/(σ11σ22^2-σ12^2)}
   +{(A-Bμp)/(AC-B^2)}{(σ11E(r2)-σ12E(r1))/(σ11σ22-σ12^2)}
  =(σ22-σ12)/(σ11-σ22-2σ12)

そして

W2=1-W1

で表わされる。第1資産の保有率w1は、第1資産のリスク(分散σ11)が小さい程、そして第2資産のリスクが大きい程、保有率を高めれば良い。また第1資産と第2資産の共分散σ12が負で大なるほど、保有率を高めることになる。

  • 行列式の性質から調べてみよう。
    |A B|= |μr'Qμr 1'Qμr|
    |B C|  |1'Qμr  1'Q1 |
    なる2x2行列は、次の行列式の積の形で表現できる。
    |μr'| Q |μr 1| 
    | 1'|    
    ここで det(AB)=detA・detB を用いれば、AC-B^2 は、|μr 1|行列の行列式の2乗に、detQを掛けた値になることが容易に理解できよう。
    det|μr 1|=E(r1)-E(r2)
    detQ=detΣ^(-1)=1/detΣ=1/(σ11σ22-σ12^2)
    であるので
    AC-B^2=(E(r1)-E(r2))^2/(σ11σ22-σ12^2)
    が成立する。

この最適保有率の下での、ポートフォリオのリターンrpとリスク w'Σwを求めてみよう。

μp=W'μr

停留条件式は

ΣW - λμr -μ1 =0

であった。この両辺にW'を掛けると

W'ΣW=λW'μr+ μW'1

を得る。 すなわち、以下のように整理できる。

w'Σw=λW'μr+ μW'1
W=λ Qμr +μ Q1
λ=(Cμp-B)/(AC-B^2)
μ=(A-Bμp)/(AC-B^2)
但し、Q=Σ^(-1)、A=μr'Qμr、B=1'Qμr、C=1'Q1

縦軸に収益の期待値y=rp、横軸に収益の分散x=W'ΣWをとれば、点(X,Y)の関係式は次式で表わされる。

X=(λ^2)A+2(λμ)B+(μ^2)C
λ=(C・y-B)/(AC-B^2)
μ=(A-By)/(AC-B^2)
但し、Q=Σ^(-1)、A=μr'Qμr、B=1'Qμr、C=1'Q1

μは、ある定数であり、λもμもyの一次式であるので、Xはyの2次式(放物線)で表わされることが判る。 これが、リスク資産の効率的ポートフォリオである。

危険資産の最適点:マーケットのポートフォリオ

次に、固定金利rfを表わす点を、分散が零なので、y軸上の1点(0,rf)で表わすことにする。 この点と効率的ポートフォリオを表わす点(x*,y*)の2点を結ぶ直線を考える。 この直線の傾きを最大とする点Mを求めてみよう。 直線の傾きβは、

β=(y*-rf)/X*
但しy*とX*は前記の効率的フロンティアの放物線上の点。

で表わされる。

m個の危険資産のポートフォリオ

ベクトル形式で定式化しよう。 収益率の確率ベクトルを R=(r1,r2,...,rm)'とおく。この平均値をμ=(μr1,...,μrm)'ベクトルで表わす。 そして、共分散行列をΣ={σij}とする。 各資産をwiだけ保有するポートフォリオを重み付けベクトルW=(w1,w3,...,wm)'で表わす。 この時のポートフォリオの収益率の平均値と分散は次式で表わせる。

E(rp)=W'μ
V(rp)=W'ΣW

いま、期待収益率E(rp)の目標値をμpと定めたとしよう。 期待収益率μpを与えるポートフォリオ(重み付け)は、一般に多数考えられるが、リスク(分散)が少ない程好ましいと投資家は考えるでしょう。 下図で示すように、3資産の場合の収益率の期待値と分散は、いろいろな値をとりうる。 Markovitzの最小分散問題は、図の太線で示した左上の領域(放物線の上半分)の領域を求める問題です。

  • この領域を効率的フロンティアと呼ぶ。 定式化すれば、期待収益率が一定値μpのもとで、最小分散を与えるポートフォリオ(重み付け)を決める問題である。

これは、線形制約のもとで、Wの2次関数を最小化する2次計画問題である。

(1/2)V(rp)=(1/2)W'ΣW --->最大化
制約式:E(rp)=W'μ=μp(一定)。1'W=w1+w2+...+wm=1
但し 1'=(1,1,...,1) ベクトル

有効フロンティアを解いてみよう。 停留条件は、下記のラグランジェ関数を最小化すればよい。

L(W)=(1/2)W'ΣW - λ1(W'μ-μp) -λ2(1'W-1)

停留条件は∂L/∂W=0より、最適解W*は

ΣW*-λ1μ-λ21=0
W*=Q[λ1μ+λ21] 但しQ=Σ^(-1)

これをW*'μ=μp と1'W*=1に代入して

λ1(μ'Qμ)+λ2(1'Qμ)=μp
1'Q[λ1μ+λ21]=1

から、ラグランジェ定数を求められる。2番目の式からλ2を求めよう。

λ1(1'Qμ)+λ2(1'Q1)=1

より λ2={1-λ1(1'Qμ)}/(1'Q1)をW*に代入すると

W*=Q[λ1μ+λ21]=Q[λ1μ+{1-λ1(1'Qμ)}/(1'Q1)・1]
  =λ1Q[μ-(1'Qμ)/(1'Q1)・1 + (1/1'Q1)Q・1

となる。残されたラグランジェ変数はλ1のみである。1番目の式からλ2を代入消去すれば

λ1(μ'Qμ)+λ2(1'Qμ)=μp
λ1(μ'Qμ)+[{1-λ1(1'Qμ)}/(1'Q1)](1'Qμ)=μp
λ1{μ'Qμ-(1'Qμ)^2/(1'Q1)}+(1'Qμ)/(1'Q1)=μp

よって、λ1は次式で与えられる。

λ1={μp-(1'Qμ)/(1'Q1)}[(1'Q1)/{(μ'Qμ)-(1'Qμ)^2/(1'Q1)}

W*を整理すれば

W*=λ1Q[μ-(1'Qμ/1'Q1)1] + (1/1'Q1)Q1

の形となる。 そこでW*-(1/1'Q1)Q1を使って

[Σ[W*-(1/1'Q1)1'Q]Σ[W*-(1/1'Q1)Q1]=(λ1)^2[μ'-(1'Qμ/1'Q1)1']QΣQ[μ-(1'Qμ/1'Q1)1]

左辺は

W*'ΣW*-2W*Σ(1/1'Q1)Q1+(1/1'Q1)^21'QΣQ1
=W*'ΣW*-2(1/1'Q1)W*1+(1/1'Q1)^21'Q1

ΣQ=I(単位行列)であり、W*1=1なので

=W*'ΣW*-2(1/1'Q1)+1/1'Q1
=V*(rp)-1/1'Q1

となる。 右辺は

(λ1)^2[μ'-(1'Qμ/1'Q1)1']QΣQ[μ-(1'Qμ/1'Q1)1]
=(λ1)^2[μ'Qμ-2(1'Qμ/1'Q1)1'Qμ +(1'Qμ/1'Q1)^2・1'Q1]
=(λ1)^2[μ'Qμ-2(1'Qμ)^2/1'Q1 +(1'Qμ)^2/1'Q1]
=(λ1)^2[μ'Qμ-(1'Qμ)^2/1'Q1]

両辺を再表示すれば

V*(rp)-1/1'Q1=(λ1)^2[μ'Qμ-(1'Qμ)^2/1'Q1]

となる。すでに求めたλ1を代入整理すると、完成である。

このことから、期待収益μpと収益の最小分散V*(rp)=W*'ΣW*の関係式は、

[V*(rp)-1/1'Q1]{μ'Qμ-(1'Qμ)^2/(1'Q1)}=[μp-1'Qμ/1'Q1]^2

が成り立つ。

''これが、有効フロンティアの式である。 期待収益μpの2次関数で、最小分散V*(rp)が表わされているので、収益率と分散の平面上では、放物線上に位置する。''

平均-分散平面上の放物線:有効フロンティア

上の導出から、リスク資産のポートフォリオについて、縦軸yに期待収益(y=μp)、横軸xに最小分散値(x=V*(rp))をとれば、次の放物線で有効フロンティアが表わされることが判った。

(y-a)^2=c(x-b)
但し、a=1'Qμ/1'Q1、b=1/1'Q1、c=μ'Qμ-(1'Qμ)^2/(1'Q1)

このように、係数(a,b,c)は、共分散行列の逆行列Qを使って、事前に1'Q1と1'Qμを計算しておけば求められる。 それでは、安全資産rfと有効フロンティアを結ぶ直線が有効フロンティアの放物線と接するM点を求めてみよう。これは、分離定理におけるリスク最適化の解である。 直線の式はy=βx+rfで表わされるので、これを前記の(y-a)^2=c(x-b)に代入して、根が1つ(重根)となる条件を計算すればよい。

M点(xM,yM)は

xM=(1/β){c/(2β)+a-rf}
yM=c/(2β)+a
β=(yM-rf)/xM

で表わされる。

  • 練習問題:2つのリスク資産のポートフォリオ
    • 問題1:r1,r2の平均ベクトルμと共分散行列Σが所与の時、rp=w1r1+w2r2の平均と分散を求め。但しw1+w2=1。
    • 問題2:ポートフォリオの期待値が所与(E(rp)=rp*で一定)のもとで、分散を最小にする最小分散ポートフォリオのw1とw2および最小分散値V(rp*)を求めよ。
    • 問題3:横軸xに、上記のポートフォリオの最小分散値、縦軸yにポートフォリオの期待値をとる時、xとyの関係式を表わす曲線の式を計算せよ。そしてこれが放物線であることを示せ。これを効率的フロンティアと呼ぶ。
    • 問題4:安全資産rfとリスク資産rm(期待値μm、分散Vm=σm^2)の時、この2つの資産から成るポートフォリオrp=w1rf+w2rm の期待値と分散を求めよ。そしてこれが平均-分散平面上で直線で表わされることを示せ。
    • 問題5:安全資産rfと先の有効フロンティアを結ぶ直線が有効フロンティアの放物線と接するM点を求めよ。

効率的フロンティアと可到達領域

横軸にポートフォリオの分散、縦軸に期待値をとるダイアグラムを考える。 効率的フロンティアとは、最小分散点よりも上半分の期待利回りを得ることができるポートフォリオの集合である。一般に、リスク回避的な投資家は、この効率的フロンティアの上が最善の投資と考えるためである。

  • 3つのリスク資産のポートフォリオの収益率と効率的フロンティア
    efficient frontier1.JPG

安全資産も含めたポートフォリオ

無リスク資産の重みをwとし、リスク資産の重みは1-wとしよう。 平均E(r),分散σ^2の資産rと、一定利回りrfの無リスク資産のポートフォリオの収益率rpは、共分散E[(r-E(r))(rf-rf)]=0となるので、

E(rp)=w・rf+(1-w)・E(r)
σp = (1-w)σとなる。

w=1-σp/σを代入して、wを消去してみよう。

E(rp) = (1-σp/σ)rf+(σp/σ)E(r)

W=1の時、σp=0でありE(rp)=rfとなる。また、w=0の時、σp=σでありE(rp)=E(r) これは、平均-分散平面上では、点(0,rf)と点(σ^2,E(r))を結ぶ直線になる。

efficient frontier.JPG

トービンの分離定理

上の図でわかるように、最適点Mは、ユニークに決められる。これは、無リスク資産と危険資産の効率的フロンティアを結ぶ直線の内で傾きを最大化するような点で与えられるので、効用関数とは無関係に計算可能である。 一方、安全資産と危険資産の組み合わせを行った場合の最適点は、効用関数によって異なり、よりリスクを回避したい場合は、安全資産をより多く保有する点を選ぶことになる。

  • このことは、危険資産の中から最適な点Mを選ぶ危険資産内での最適化を行うことと、点Mと安全資産の重み付け最適化は、別々に行っても差し支えないことを示している。
  • 危険資産内での最適化ポートフォリオrpを選ぶ行為と安全資産rfと危険資産ポートフォリオrpの重み付けを分離できるという定理はトービンの分離定理と呼ばれる。

練習問題:3つの無相関な資産の場合

3つの互いに無相関な資産がある。どの資産も分散は1であり、その平均値はそれぞれ1,2,3であるとする。この時次の問題を解け。

  • 1.ポートフォリオの最小分散点を求め。
  • 2.効率的フロンティアを表す式をσとE(r)の関係式で示せ。
  • 3.効率的フロンティアを図示せよ。(横軸をσ^2、縦軸をE(r)として示せ)

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Last-modified: 2010-12-15 (水) 09:16:00 (3230d)