倒立振子の運動方程式

ポテンシャルエネルギUと運動エネルギKは,

m:重りの質量
L:振子の長さ
q:振子の角度
t:振子に加わるトルク(今回は無視する)
M:台車の質量
x:台車の変位
f:台車に加わる力
g:重力加速度

のパラメータを用いて表現できる。台車の位置からの高さはLcosθなので

U=mg・高さ=mgLcosθ
K=1/2・M・速度^2 + 1/2・m・速度^2
 =1/2・M・(dx/dt)^2 + 1/2・m[(d/dt(x+Lsinθ))^2++(d/dt(Lcosθ))^2]
総エネルギー T= U + K ・・・・・・・・・・ラグランジェ関数

となる。

pendulum.JPG

これに ラグランジェの方程式を適用

d/dt(∂T/∂x')-∂T/∂x=0
d/dt(∂T/∂θ')-∂T/∂θ=0

上の2式に、U,Kの式を代入して x と θ について解くと、2次の連立微分方程式を得る。

(M+m)x''+ mLcosθ・θ'+ mLsinθ・(θ')^2 = f
mLcosθ・x''+M・L^2・θ''-mgLsinθ     = 0

振子系は振子と台車の2つの質点から構成されることから n=2 であり,一般化座標として q1=x,q2=θとしている。また,振子系に作用する外力は台車を駆動する力 f のみであるので,一般化力はτ1=f, τ2=0 となる。

頂点の平衡点近傍での運動方程式

まず,上式に対して平衡点(時間に関する微分項をすべて0)を求めると sinθ=0, f=0 が得られる。これより振子系の平衡点はθ=0,πであることがわかるが,本制御目的は振子を安定に立たせることであるので,平衡点θ=0 が議論の対象となる。

この平衡点から振子の角度θが微小に変動した場合を考えると,sinθ=θ,cosθ=1と近似して、かつ 振子の変動角速度も同様に緩やかであると仮定すると,その2乗の項は無視してよい。

(M+m)x''+ mLθ' = f
mLx''+M・L^2・θ'' ー mgLθ= 0

これに対して,状態量 x を x=(x,θ,x',θ')なる列ベクトルとすると

x'= A x + F   ・・・・状態方程式
y=H x       ・・・・観測方程式

が導出できる。

可観測性と可制御性

  • 問題1:上記の場合で確認せよ
  • 問題2:台車の上に、2本の倒立振子を置いた場合に、可制御性が成り立つための条件を示せ。

添付ファイル: filependulum.JPG 689件 [詳細]

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Last-modified: 2009-09-25 (金) 19:55:00 (3222d)