ニュートン

ニュートンは、1665年に二項定理を発見した。

二項定理(にこうていり、binomial theorem)とは

二項式 x + y の冪乗 (x + y)^n の展開(二項展開)を表す公式のことである。 これは、この展開の一般項 x^ky^n−k の係数を n と k のみで表す定理

binomial theory.JPG

定理の主張はこの二項係数は n 個から k 個選ぶ組合せの数 nCk に等しいということである。これはまた、階乗を用いて表される:

kumiawase.png

パスカルの三角形

n 段目の k 番目に nCk を配置(もちろん n も k も 0 から数え始める)した三角形として表され、パスカルに因んでパスカルの三角形という。

一般2項定理:nが実数αの場合

応用:展開式から積分値を知る

  • 展開式を自在に使って,青年ニュートンは円周率を計算し,また(1 + x^2)^1/2 を項別に積分して逆正弦関数arcsin x の展開式を求め,さらにそれを逆に解いて,西欧世界で最初に正弦関数sin x の展開式を求めた。

参考:一般化2項定理による積分計算


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Last-modified: 2010-05-06 (木) 08:52:00 (3114d)