二項定理

ニュートン †

ニュートンは、1665年に二項定理を発見した。

二項定理（にこうていり、binomial theorem）とは †

二項式 x + y の冪乗 (x + y)^n の展開（二項展開）を表す公式のことである。 これは、この展開の一般項 x^ky^n−k の係数を n と k のみで表す定理

定理の主張はこの二項係数は n 個から k 個選ぶ組合せの数 nCk に等しいということである。これはまた、階乗を用いて表される：

パスカルの三角形 †

n 段目の k 番目に nCk を配置（もちろん n も k も 0 から数え始める）した三角形として表され、パスカルに因んでパスカルの三角形という。

一般２項定理：ｎが実数αの場合 †

• ニュートンは、パスカルの三角形からこの一般二項定理を発見
• ニュートンの一般2項定理の発見のプロセスが紹介されていました。
  • 一般２項定理
    

応用：展開式から積分値を知る †

• 展開式を自在に使って，青年ニュートンは円周率を計算し，また(1 + x^2)^1/2 を項別に積分して逆正弦関数arcsin x の展開式を求め，さらにそれを逆に解いて，西欧世界で最初に正弦関数sin x の展開式を求めた。

参考：一般化2項定理による積分計算