ヤコブ・ベルヌーイ(Jakob Bernoulli、1654年12月27日 - 1705年8月16日)

ヤコブ、ジャック、あるいはジェームス・ベルヌーイとしても知られるスイスの数学者・科学者。ヨハン・ベルヌーイの兄である。スイスのバーゼルの生まれ。

  • Ars Conjectandi, Opus Posthumum (推測法、1713)
    ベルヌーイ試行とベルヌーイ数はこの著作から、彼の功績を記念して名づけられた。

ベルヌーイ試行

またはベルヌーイ・トライアルとは、「AかBのどちらかしか起こらない」、「yesかnoのどちらかしかない」、「表と裏のどちらかしか起こらない」といった事象(これをベルヌーイ型の事象と呼ぶ)を起こさせることをさす。

ベルヌーイ分布

確率 p で 1 を、確率 q = 1 − p で 0 をとる、離散確率分布

ベルヌーイ過程(英: Bernoulli process)

2つの値を取る独立な確率変数列からなる離散時間の確率過程である。ベルヌーイ過程とは、いわばコイントスであり、そのコインは必ずしも公平なものとは限らない。このような確率過程における確率変数をベルヌーイ変数(Bernoulli variable)と呼ぶ。

確率を計算せよ

ベルヌーイ過程における確率変数

最初の n 回の試行における成功回数は、二項分布である。 
r 回の成功を得るのに必要な試行回数は、負の二項分布である。 
1回の成功を得るのに必要な試行回数は、幾何分布であり、これは負の二項分布の特殊ケースである。

オプション価格

  • オプション価格モデルには大きく二つあります。二項モデル(Binominal Model)と ブラックショールズモデル(Black-Scholes Model)の二つです。二項分布モデルは、ジョン・コックス、ステファン・ロス、マーク・ルービンシュタインらによって1979年に発表されたモデルである。初等数学を使ってオプション価格決定理論を展開させたものとして、また、非常に難解なブラック・ショールズ・モデルを一般化するものとしてよく利用されている。
  • 二項モデルを取り上げて、ヘッジ・ポートフォリオの価格を計算する。 対象となる派生証券として、一期間後のヨーロピアン・コール・オプションを考え、株式の価格過程に次のプロセスを仮定する。
     S →(uS, p)または(dS, 1 − p)
    無リスク資産である債券の金利をr、さらに、R = 1+r とし、d < R < u と仮定する。 ヨーロピアン・コール・オプションの現在価値をC とすれば、一期間後の変動は
    C → Cu = max[uS − K, 0], p  または Cd = max[dS − K, 0], 1 − p
    となる。このとき、株式の保有枚数Δ と債券の保有枚数B からなるヘッジ・ポートフォリオSΔ+B を考えると
    SΔ+B → uSΔ+RB, p  または dSΔ+RB, 1 − p.
    ヘッジ・ポートフォリオであるから、一期間後の双方の価値が一致する。原資産の取引で利益を上げる、ということを想定しません。なのでオプションを買う金額とこの複製ポートフォリオを組む費用が同じでなくてはなりません したがって、
    Δ =(Cu − Cd)/((u − d)S}  かつ B=(Cu − Cd)/((u − d)S)
    このとき、
    C = SΔ+B =[qCu + (1 − q)Cd]/R 
    ただし q = (R − d)/(u − d) 1 − q = (u − R)/(u − d)
    と記述することができ、仮定から0 < q < 1 である。 このとき、q がqu + (1 − q)d = R を満足することがわかる。

多期間の場合についても同様の議論が成立し、n 期間後に満期を迎えるヨーロピアン・コール・オプ ションの価値C(n, S,K) は再帰式(recursive formula)を用いれば

C(n, S,K) = R−1[qC(n − 1, uS,K) + (1 − q)C(n − 1, dS,K)]

で与えられる

  • 株価指数オプション、通貨オプション、先物オプションの場合、配当率を夫々、 株式ポートフォリオの配当率、外国通貨の安全利子率、自国通貨の安全利子率(=r) に置き換えれば良い。

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Last-modified: 2009-07-04 (土) 19:00:00 (3814d)