単振子

支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして

x= L sinθ
y= L cosθ

とする。

harmonic-oscillator.JPG
時間的に変化するのはθだけであるので、この運動方程式を求める。

支店の、下方向にmgの重力がかかるが、これをθ方向とL方向に分けて考える。 θ方向の加速度と重力のつり合いは

m・d2(Lθ)/dt2= -mgsinθ ・・・ (0)

Lは一定値なので、変化しない。θのみ時間の関数ゆえ、整理すれば

単振り子の運動方程式は

d2θ/dt2 = -(g/L)sinθ  ・・・ (1)
L :振り子の糸の長さ
θ:糸が鉛直方向となす振れの角
t :経過時間
g :重力の加速度(9.8)

と書ける。(振り子の質量(m)は振り子運動に影響しない)

この方程式は非線形であって、解析解は楕円関数で表現される。

 振れの角θが小さいとき、sinθ≒θとなり、(1)式は単振動の式

d2θ/dt2 = -(g/l)θ  ・・・ (2)

となる。

(2)式の解は

θ=2k・sin{√(g/l)・t}

となり。振幅(k)、周期(T = 2π√(g/l))の単振動を表す。

振り子の長さが変化する場合

ブランコでは、θの方向に力を加えることができない。できるのは、重心の移動=L方向の上下運動である。これは、Lを時間的に変化させることである。どのように変化させれば、ブランコは揺れるか? θ方向の角速度は重力加速度で大きくなるが、重心の速度は v = Lθ である

おもりの角運動量はmL^2・dθ/dt である。角運動量の微分は力のモーメントに等しいので

d(mL^2・dθ/dt)/dt= -mgL・sinθ

長さLも時間的に変化するとすれば,

2mL(dL/dt)(dθ/dt)+mL^2・d2θ/dt2 =-mgL・sinθ

となる。 整理して

d2θ/dt2 +(2/L)(dL/dt)(dθ/dt)+(g/L)sinθ = 0

θが十分小さい場合は、sinθ=θとおけば、

d2θ/dt2 +(2/L)(dL/dt)(dθ/dt)+(g/L)θ = 0

2階の線形微分方程式である。 Lは時間tの関数であるので、たとえばL(t)を正弦波のような振動を加えることで、振り子の運動を制御できる。dθ/dtの係数は(2/L)(dL/dt)である。これが正の場合、減衰振動となる。ブランコの長さを短くすれば dL/dt<0 にできる。すなわち、立ち上がるタイミングを決めることで、振動を大きくできる。

位置エネルギーを真下で加え(立ち上がり)、頂点でしゃがむとよい

http://www.page.sannet.ne.jp/ikenoue/type2/swing_rinji/ans/swing-a.html


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Last-modified: 2012-07-17 (火) 16:27:00 (2196d)