パラメトリック励起振動(励振)とは

通常のバネ・ダンパー系やブランコなどの運動は、2階の線形微分方程式で表わされる。そして、その解はには、2つ固有値からなる振動モードと制動から、ステップ状の入力に対しては、大きく振れながら一定値に収束していく。しかしながら、ブランコで例えれば、外力を加え続けることで、揺れがおおきくなるような現象が現れる。このように、固有値を決めるパラメータに一定の変化を加えることで、振動をおおきくするような現象をパラメトリック励起振動という。

dynamics-of-parametric-oscillator.JPG

単振動の運動のモデリング

糸の長さはLで一定とする。鉛直方向との角度をθとする。支点は(0,0)で動かない。

鉛直方向の力のバランスは、糸の張力をSとすれば

m d2y/dt2 =mg - S cosθ

水平方向の力のバランスは、

m d2x/dt2 = - S sinθ

cosθ=y/L、sinθ=x/L を代入して、上の2式を整理すると

m d2y/dt2 =mg - S y/L
m d2x/dt2 = - S x/L

ここで θが十分小さいと仮定する。cosθは1に近いのでy/L=1 すなわちyはLに近似できる。またd2y/dt2=0としてよい。 上側の式は0=mg - S に近似できる。これからS=mgを下側の式に代入して消去する。

 m d2x/dt2 = -(mg/L)x

mを両辺から消す

d2x/dt2 = -(g/L)x

これが横方向の運動方程式である。

書きなおすと

d2x/dt2 + (g /L)x =0

特性方程式は

F(λ)=λ^2+ω^2 但し ω=√g/L

F(λ)=0の解は、+iωと-iωなので、上記の微分方程式の解は

X(t)=Ae^(iωt)+Be^(-iωt). あるいはx(t)=Acostωt+Bsinωt

で表わされることになる。

harmonic-oscillator.JPG

パラメトリック励起振動のモデリング

支点が上下方向にy0(t)のように、動く場合の単振動を考えよう。 鉛直方向の力のバランスは、糸の張力をSとすれば

m d2y/dt2 =mg - S cosθ   (1)

水平方向の力のバランスは、

m d2x/dt2 = - S sinθ    (2)

である。 ただし。

X=Lsinθ
y(t)=y0(t) + Lcosθ

時間tの関数は、θ と y0 である これより,(1)式を y0の運動に書き換える。

d2y/dt2 = d2(y0(t) + Lcosθ)/dt2=d2y0/dt2+Ld2(cosθ)/dt2

d2(cosθ)/dt2=d{-sinθdθ/dt}/dt=ー{cosθdθ/dt+sinθd2θ/dt2}であるので

d2y/dt2 = =d2y0/dt2-L{cosθdθ/dt+sinθd2θ/dt2}

これを使って、m d2y/dt2 =mg - S cosθ を書き換えると、

m (d2y0/dt2- L{cosθdθ/dt+sinθd2θ/dt2}) = mg - S cosθ    (1)’

一方 (2)式をθの微分方程式に書き換える。

d2x/dt2 =L d2(sinθ)/dt2 = -L sinθ
m d2x/dt2 = -mL d{cosθ dθ/dt}/dt=-mL{-sinθdθ/dt+cosθd2θ/dt2} = - S sinθ

整理すれば

mL {-sinθdθ/dt+cosθd2θ/dt2} = - S         (2)' 

上の式から、Sを求められる。(1)'にsを代入して整理する。

m (d2y0/dt2- L{cosθdθ/dt+sinθd2θ/dt2}) =mg +mL cosθ{-sinθdθ/dt+cosθd2θ/dt2}

整理する。

(1/L)d2y0/dt2-cosθdθ/dt+sinθd2θ/dt2 =g/L + {-sinθcosθdθ/dt+(cosθ)^2 d2θ/dt2}
m (d2y0/dt2- Lcosθ) = mg + mLcosθ d2θ/dt2 

mを消去して整理

Lcosθ d2θ/dt2 +g = (d2y0/dt2- Lcosθ)

これが、θとy0に関する運動方程式である。 θが、十分小さい時はcosθ=1と近似して

d2θ/dt2 +g/L =(1/L)d2y0/dt2-1
d2x/dt2 + (1/L)(g+L - d2y0/dt2)x = 0

あるいは

d2x/dt2 + (g/L)X = {(1/L)d2y0/dt2-1}X

左辺は、自由単振り子の式であり、右辺は強制項とも考えられる。

d2y0/dt2が値をもつばあい、つまり支点が加速度運動をしていれば、重力加速度がg+L - d2y0/dt2に従って変化するのと同じ。

y0(t)=αsin2ωt (L>>α>0)の場合

ブランコの角速度ω0の2倍の角速度で支点を上下させる場合を考える。

parametric-oscillator.JPG

d2y0/dt2=-4αω^2sin2ωt なので、これを

d2x/dt2 + (1/L)(g - d2y0/dt2)x = 0

に代入する。

d2x/dt2 + (1/L)(g +4αω^2sin2ωt)x = 0

ω0=√g/L として

d2x/dt2 + (ω0^2+4(α/L)ω^2sin2ωt)x=0
 (1/ω0^2)d2x/dt2 + (1+4(α/L)(ω/ω0)^2sin2ωt)x=0

以上より、パラメトリック励起振動の微分方程式は、次式で表される。

(1/ω0^2)d2x/dt2 + (1+4εsiin2ωt)x=0
ε=(α/L)(ω/ω0)^2   ω0=√g/L 

εが0の時が単振動である。

dynamics-of-parametric-oscillator.JPG

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Last-modified: 2012-07-23 (月) 14:06:00 (2254d)