目次

ピタゴラスの定理:紀元前500年頃

パスカルの三角形:紀元前450年頃サンスクリットによる詩集「須弥山の階段」に記載される。

アポロニウスの円:紀元前2世紀

アルキメデスの螺旋

ギリシャの三大作図問題:不可能だった問題

フィボナッチ級数:1202年「算盤の書」

フィボナッチ探索法:1次元関数の最小化のアルゴリズム

黄金分割法    :1次元関数の最小化のアルゴリズム

ケプラーの三角形 :ケプラー(1571-1630)

フェルマーの原理:フェルマー(1608年初頭 -  )

ガリレオの地動説:1616年 第1回異端審問

パスカルの法則:1630年頃?

螺旋 :1638年 デカルト

単振動 ばねとフックの法則:1660年、フックの法則を発見

ニュートンの一般化二項定理と積分計算:1665年

重力 :ニュートンの万有引力の法則

地球からの脱出速度とエネルギー保存則

ニュートン法:1669年

懸垂曲線:1691年 ヤコブ・ベルヌーイ

指数関数:Later, in 1697, Johann Bernoulli studied the calculus of the exponential function

ベルヌーイ試行・分布:1713年「推測法」

大数の法則と二項分布

2項分布:多項分布、ポアソン分布、正規分布との関係

テイラーの定理:1720年頃?

テイラー展開 と マクローリン展開

スターリングの公式:James Stirling (1690-1770)1720年頃?

ダランベールの原理:1743年

指数関数・オイラー数:Leonhard Euler 1707-1783

円分多項式:ドモアブルの定理など

オイラー法:最も簡単な数値積分方法

漸化式と特性方程式、および差分近似

複素数・ガウス平面:Leonhard Euler 1707-1783

オイラーの方程式:Leonhard Euler and Louis Lagrange in the 1750s

ラグランジュの未定乗数法:Lagrange 1736-1813

素数定理:1792年にGaussが予想

ラプラスの定理:Pierre-Simon Laplace 1749-1847

最小二乗法:Gauss 1794

ガウス・マルコフの定理:1800年頃

チェビシェフの多項式:1821~1894

ポアソン分布:1837年発見

ポアソンの定理:1838年

リュカ数列:リュカ(1842-1892)

マルコフ過程:1880年頃

確率変数と条件付き確率:コルモゴロフ1933年

ギャンブラー破産問題

シャノンの情報量:1948年

選択公理:Luce(1977)

お見合い問題:Unified approach(1984)

カルマンフィルタ:Rudolf Emil Kalman、1930年5月16日-

ギャンブラー破産問題:E Shoesmith, Huygens(1986),

エントロピーと1因子情報路の問題:Claude Shannon in 1948

統計・確率論

  • 確率
    • 確率、確率変数
  • 条件付き確率
    • ベイズの定理
    • ベルヌーイ試行
    • 2項分布 、 二項分布
    • ポアソン分布
    • 正規分布
  • 推計統計学
    • 母集団、無作為抽出(ランダムサンプリング)
    • 期待値、不偏分散
    • 有意水準
    • 尤度関数
    • 尤度比検定
    • 統計的検定
  • 重要な法則 [#f5900f63]
    • 大数の法則、中心極限定理
    • ポアソンの定理
    • ラプラスの定理
    • ガウス・マルコフの定理
  • 多変量解析
    • 2変数正規分布
    • 回帰分析、重回帰分析
    • ロジスティック回帰分析
    • 最小二乗法
  • 時系列
    • ランダムウォーク
    • 時系列モデル
    • 自己回帰移動平均モデルとYule-Walker の方程式
    • ダービンワトソン比
    • 一般化最小二乗法
    • 逐次最小二乗法
    • EMアルゴリズム
    • 粒子フィルタによる追跡アルゴリズム
    • 隠れマルコフモデル

情報理論

  • エントロピー
  • シャノンの情報量

ファイナンス・金融理論

  • 基礎数学
    • 確率変数
    • 平均・分散・相関係数とピタゴラスの定理
    • 中心極限定理
    • 最小二乗法•逐次最小二乗法•統計的検定•ガウス・マルコフの定理
  • 最適化
    • ラグランジュの未定乗数法
  • 資産の収益
    • ポートフォリオ
    • 最小分散ポートフォリオ
    • ファンド定理期待効用と最適化
    • 期待効用
    • リスクプレミアム
    • 効用関数
    • 効用関数の最大化とCAPMの導出
  • ボラティリティ
    • 確率的ボラティリティ モデル:SVモデル
    • CAPMのベータの計算方法
    • レジームスィッチングモデル
  • 資本資産価格モデル:CAPM
    • リスク中立確率とCAPM
    • リスクの市場価格とCAPM
    • インデックスモデルとリスク分解:システマティックリスクと固有リスク
    • 消費CAPM
    • ルーカスの資産価格モデル
    • 資本資産価格モデル
    • 最適ポートフォリオと分離定理
    • MM理論
  • ベルヌーイ試行・分布とオプション価格モデル
    • オプション価格モデル: Cox, Ross and Rubinstein (1979). 履行しなくても良い買う権利(手付金)はいくらが妥当?

システム同定・予測への応用

  • 逆行列と公式
  • 状態空間モデル
  • カルマンフィルタ入門
  • カルマンフィルタ
  • 状態とパラメータの逐次決定
  • デジタル信号処理とカルマンフィルタ

心理測定

  • 一対比較法
  • 選択公理

マルコフ過程

  • お見合い問題
  • ギャンブラー破産問題
  • 賭けの定理

就職内定率の確率計算

変分法とその応用

  • 「最短距離は直線」の証明
  •  懸垂曲線はカテナリー曲線
  •  最速降下曲線:サイクロイド
  •  オイラーの方程式 オイラー方程式
  •  2重振子とラグランジェの方程式
  •  倒立振子の方程式

面白い応用問題

  • 脱出速度:人工衛星や人工惑星に必要な初速度・あるいはエネルギー
  • 重力と月の引力圏
  • お見合い問題:確率的な最適停止問題(ネイピア数が決め手)
  • 安定結婚問題:n人の男性とn人の女性が好みの相手をプロポーズして決める問題。集団見合い?
  • ギャンブラー破産問題:ギャンブル(ルーレット)は破産しますから止めましょう。
  • 条件付き確率:ロシアンルーレットは、条件で有利、不利がある
  • 黄金角度、黄金数、フィボナッチ級数、フィボナッチ数列
  • エントロピーを使った購入量の予測

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Last-modified: 2014-04-18 (金) 13:26:00 (1133d)