#freeze
**リーマン予想とは [#b4f1e312]
-1859年にドイツの数学者ベルンハルト・リーマンがアカデミーの会員になったときに発表した短い論文に書かれている予想
-リーマン予想とは、Nまでの数のなかに、いくつ素数があるかということと関連した数学の仮説である。

 「ゼータ関数の自明でないゼロ点の実数部はすべて1/2である」
-「異なる2つの平方数の間には必ず素数が存在する」と関連している
**ゼータ関数 [#y23724c7]
-ゼータ関数は,整数をわたる無限和(ディリクレ級数) 
  ζ(s)=Σ1/n^s 
として定義される関数である. 
  
-また,ゼータ関数は素数全体をわたる無限積 
  ζ(s)=Π(1-p^(-1))^(-1) 
      =Π(1+1/p^s+1/p^2n+1/p^3n+・・・) 
      =(1+1/2^s+1/2^2n+1/2^3n+・・・)(1+1/3^s+1/3^2n+1/3^3n+・・・)(1+1/5^s+1/5^2n+1/5^3n+・・・)・・・ 
に等しいことがわかっている.
--右辺 
  Π(1-p^(-1))^(-1) 
はディリクレ級数を丸ごと素因数分解したようなものであって,オイラー積と呼ばれる. 
  
-リーマン予想は,一部に素数定理なども含む数学上の最大の難問であって,素数定理 
  π(x)~x/logx 
を精密化する問題と考えることができる.リーマン予想は素数定理と切っても切り放せない関係なのである. 
  
 部分積分により 
  ∫(2,x)dt/logt=x/logx+1!x/(logx)^2+・・・+(m-1)!x/(logx)^m+・・・ 
であるから,素数定理はπ(x)の初項だけを求めた定理であるといえるだろう.そこで素数に関する未解決問題を解くにはリーマン予想の証明が重要になってくるのである. 


--ゼータ関数とリーマン予想 http://www.geocities.co.jp/Technopolis/5346/zet.html
--ゼータ関数        http://mailsrv.nara-edu.ac.jp/~asait/generate.htm
**経緯 [#p8781102]
--1900年にヒルベルトの「23の難問」にも上げられ、
--2000年の世界数学者会議で,米クレイ数学研究所が懸賞金付きで提示した7つの未解決問題の1つ。100万ドルの懸賞がつけられた難問。
--リーマン予想の証明に挑戦した有名な数学者
 アダマール,マンゴルト,プーサン,ランダウ,ハーディ,リトルウッド,ジーゲル,
 ポリヤ,イェンセン,リンデレーエフ,ボーア,セルバーグ,アルティン,ヘッケ,
 フルヴィッツなど
-いまだ未解決。
--すべての零点のうち、5分の2は1/2の上にのっていることが証明されています(セルバーグ・コンレイ)
--さらにはじめの1億5千万個の零点は予想を満たしていることがコンピューターのよる計算によって確認されています。(オドリツコ、テ・リール)

**素数は無限にある [#h10aa409]
-ユークリッドの証明
 Nを素数とすると(2×3×5×7×11×・・・×N)+1は「2からNまでのどの素数でも割り切れず」
 しかも「Nより大きい」のだから,Nより大きな素数になる。だから素数は無限に存在する。
**素数の発生密度 [#id7050d8]
-数の範囲を広げれば広げるほど,割る数(つまり素因数となりうる数)が増えていくのだから,感覚的には数が大きくなればなるほど,素数の密度は低くなることは予想できる。
-実際に1000くらいまでの素数の分布をみてもわかるが,素数の出現は非常に気まぐれであり,規則性は全くみられない。
**バーゼル問題 [#c34a54f5]
-「バーゼル問題」:「z=2のゼータ関数はどの値に収斂するか」という問題
-解決者:オイラー
-答え:π**2/6(なぜかΠ(パイ)が出てくる)
**正しいとして [#n17fe0e8]
-「リーマン予想が真であるならば」で始まる数学定理は既に数百を優に超えている。


** 参考 [#dabf56df]
- ゼータ関数のいくつかの点について http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page045.htm --  &new{2005-09-29 (木) 15:47:12};
- ウィキペディア リーマン予想 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3 --  &new{2005-09-29 (木) 16:02:55};
- 美しい数学 http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou/toukou32.html --  &new{2005-09-29 (木) 16:20:51};
- 整数論へのガイダンス http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/number.html --  &new{2005-09-29 (木) 16:26:42};
- リーマン予想が解かれたかも http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/246_riemann.htm --  &new{2005-10-01 (土) 08:23:37};

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