リーマン予想とは

  • 1859年にドイツの数学者ベルンハルト・リーマンがアカデミーの会員になったときに発表した短い論文に書かれている予想
  • リーマン予想とは、Nまでの数のなかに、いくつ素数があるかということと関連した数学の仮説である。
「ゼータ関数の自明でないゼロ点の実数部はすべて1/2である」
  • 「異なる2つの平方数の間には必ず素数が存在する」と関連している

ゼータ関数

  • ゼータ関数は,整数をわたる無限和(ディリクレ級数)   ζ(s)=Σ1/n^s として定義される関数である.  
  • また,ゼータ関数は素数全体をわたる無限積   ζ(s)=Π(1-p^(-1))^(-1)       =Π(1+1/p^s+1/p^2n+1/p^3n+・・・)       =(1+1/2^s+1/2^2n+1/2^3n+・・・)(1+1/3^s+1/3^2n+1/3^3n+・・・)(1+1/5^s+1/5^2n+1/5^3n+・・・)・・・ に等しいことがわかっている.
    • 右辺   Π(1-p^(-1))^(-1) はディリクレ級数を丸ごと素因数分解したようなものであって,オイラー積と呼ばれる.  
  • リーマン予想は,一部に素数定理なども含む数学上の最大の難問であって,素数定理   π(x)~x/logx を精密化する問題と考えることができる.リーマン予想は素数定理と切っても切り放せない関係なのである.    部分積分により   ∫(2,x)dt/logt=x/logx+1!x/(logx)^2+・・・+(m-1)!x/(logx)^m+・・・ であるから,素数定理はπ(x)の初項だけを求めた定理であるといえるだろう.そこで素数に関する未解決問題を解くにはリーマン予想の証明が重要になってくるのである.

経緯

  • 1900年にヒルベルトの「23の難問」にも上げられ、
  • 2000年の世界数学者会議で,米クレイ数学研究所が懸賞金付きで提示した7つの未解決問題の1つ。100万ドルの懸賞がつけられた難問。
  • リーマン予想の証明に挑戦した有名な数学者
    アダマール,マンゴルト,プーサン,ランダウ,ハーディ,リトルウッド,ジーゲル,
    ポリヤ,イェンセン,リンデレーエフ,ボーア,セルバーグ,アルティン,ヘッケ,
    フルヴィッツなど
  • いまだ未解決。
    • すべての零点のうち、5分の2は1/2の上にのっていることが証明されています(セルバーグ・コンレイ)
    • さらにはじめの1億5千万個の零点は予想を満たしていることがコンピューターのよる計算によって確認されています。(オドリツコ、テ・リール)

素数は無限にある

  • ユークリッドの証明
    Nを素数とすると(2×3×5×7×11×・・・×N)+1は「2からNまでのどの素数でも割り切れず」
    しかも「Nより大きい」のだから,Nより大きな素数になる。だから素数は無限に存在する。

素数の発生密度

  • 数の範囲を広げれば広げるほど,割る数(つまり素因数となりうる数)が増えていくのだから,感覚的には数が大きくなればなるほど,素数の密度は低くなることは予想できる。
  • 実際に1000くらいまでの素数の分布をみてもわかるが,素数の出現は非常に気まぐれであり,規則性は全くみられない。

バーゼル問題

  • 「バーゼル問題」:「z=2のゼータ関数はどの値に収斂するか」という問題
  • 解決者:オイラー
  • 答え:π**2/6(なぜかΠ(パイ)が出てくる)

正しいとして

  • 「リーマン予想が真であるならば」で始まる数学定理は既に数百を優に超えている。

 参考


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Last-modified: 2012-08-17 (金) 15:58:00 (2110d)