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exp(x)=lim　n→∞　(1+x/n)＾n

を与えた最初の人はオイラーである。これは数ある指数関数の特徴付けの一つであり、ほかにも冪級数や微分方程式を用いた定義などがある。 何れの定義に従ったとしても、指数関数は指数法則と呼ばれる基本的な関係式 exp(x+y)=exp(x)⋅exp(y)

を満たすから、指数関数を冪乗の記法を以って e＾x と書くこともある。 e^(x+y)=e^x・e^y

指数関数 e^x を方程式 x=∫y(t)dt ,t=1からxまでの積分 の解 y（x） と定めることもできる。あるいはまた、以下の極限 e＾x=lim　n→∞　(1+x/n)＾n

によっても同じものが定まる。 初等解析学 底がネイピア数 e である指数関数 e^x の導関数は e^x 自身となる。 de^x/dx=e^x.

解析学においてはこの性質を満たす関数として指数関数を定義する。

どうするか？

MathJaxで表示できました。

指数関数 ex を一意的に定義するための特徴付けは、同値な方法がいくつも知られている。中でも以下の冪級数

Texの両側を$で挟むと表示
$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots 

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots $

で定義するのが典型的である。これは他の方法で指数関数を定義した場合に導くことのできる、指数関数のテイラー級数そのものである。